<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!--
 * Scilab ( https://www.scilab.org/ ) - This file is part of Scilab
 * Copyright (C) 2008 - INRIA
 * ...
 *
 * Copyright (C) 2012 - 2016 - Scilab Enterprises
 *
 * This file is hereby licensed under the terms of the GNU GPL v2.0,
 * pursuant to article 5.3.4 of the CeCILL v.2.1.
 * This file was originally licensed under the terms of the CeCILL v2.1,
 * and continues to be available under such terms.
 * For more information, see the COPYING file which you should have received
 * along with this program.
 *
 -->
<refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"
          xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:ns5="http://www.w3.org/1999/xhtml"
          xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:db="http://docbook.org/ns/docbook"
          xmlns:scilab="http://www.scilab.org" xml:id="intg" xml:lang="ru">
    <refnamediv>
        <refname>intg</refname>
        <refpurpose>определённый интеграл</refpurpose>
    </refnamediv>
    <refsynopsisdiv>
        <title>Синтаксис</title>
        <synopsis>
            [v, err] = intg(a, b, f)
            [v, err] = intg(a, b, f, atol)
            [v, err] = intg(a, b, f, atol, rtol)
            [v, err, ierr] = intg(..)
        </synopsis>
    </refsynopsisdiv>
    <refsection>
        <title>Аргументы</title>
        <variablelist>
            <varlistentry>
                <term>a, b</term>
                <listitem>
                    Конечные действительные числа: границы интеграла.
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>f</term>
                <listitem>
                    внешняя функция (функция, список или строка)
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>atol</term>
                <listitem>
                    абсолютная ошибка, требуемая для результата. Значение по умолчанию: 1.d-13.
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>rtol</term>
                <listitem>
                    относительная ошибка, требуемая для результата. Значение по умолчанию: 1.d-8.
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>err</term>
                <listitem>
                    оцененная абсолютная ошибка результата.
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>ierr</term>
                <listitem>
                      error flag number (= 0 if no error occurred).
                      <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
        </variablelist>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Описание</title>
        <para>
            <literal>intg(a,b,f)</literal> вычисляет определённый интеграл функции
            <literal>f(t)</literal> по <literal>dt</literal> в пределах от
            <literal>a</literal> до <literal>b</literal>.
            Функция <literal>f(t)</literal> должна быть непрерывной.
        </para>
        <para>
            Вычисление, как можно ожидать, удовлетворяет следующему условию точности:
            <literal>abs(I-v)&lt;= max(atol, rtol*abs(I))</literal>, где
            <literal>I</literal> -- точное значение интеграла.
        </para>
        <para>
            <literal>f</literal> -- внешняя функция:
        </para>
        <itemizedlist>
            <listitem>
                <para>
                    Если <literal>f</literal> -- функция, то её определение должно иметь вид
                    <literal>y = f(t)</literal>.
                </para>
            </listitem>
            <listitem>
                <para>
                    Если  <literal>f</literal> -- список, то этот список должен быть в виде:
                    <literal> list(f,x1,x2,...)</literal>, где <literal>f</literal> --
                    функция с последовательностью вызова <literal>f(t,x1,x2,...)</literal>.
                </para>
            </listitem>
            <listitem>
                <para>
                    Если <literal>f</literal> -- строка, то она ссылается на имя либо
                    процедуры Fortran либо функции C с заданной последовательностью вызова:
                </para>
            </listitem>
            <itemizedlist>
                <listitem>
                    <para>
                        в случае Fortran вызывающая последовательность должна быть
                        в виде  <literal>double precision function f(x)</literal>, где
                        <literal>x</literal> также является числом двойной точности.
                    </para>
                </listitem>
                <listitem>
                    <para>
                        В случае C вызывающая последовательность должна быть
                        <literal>double f(double *x)</literal>.
                    </para>
                </listitem>
            </itemizedlist>
        </itemizedlist>
        <para>
            <emphasis role="bold">Используемые функции</emphasis> :
            Связанные подпрограммы можно найти в директории
            SCI/modules/differential_equations/src/fortran: dqags.f и dqagse.f из quadpack.
        </para>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Known Limitation</title>
        <para>
            Like all the integrators, <literal>intg</literal> is subject to spike missing.
        </para>
        <para>
            A flat function with a spike will be seen as a fully flat function
            if the spike is stiff enough.
        </para>
        <para>
            This cannot be bypassed. It is easy to understand why when we know how the integrator operates.
            Indeed, <literal>intg</literal> uses the 21-point Gauss-Kronrod rule.
            Hence, any spike in-between two consecutive integration points will be undetected,
            and the function will be considered smooth.
        </para>
        <para>
            However, a warning message will be issued if the function is considered very smooth.
            The user will then be suggested to reduce the integration interval,
            should he think that spikes were missed.
        </para>
        <para>
            The following graphs illustrate that phenomenon:
        </para>
        <scilab:image localized="true">
            x = 0:.1:22;
            y = zeros(1,221); y(1) = 3; y(96) = 1;
            subplot(1,2,1)
            plot(x, y, "r");
            title(_("Unsampled Spike => missed by intg()"), "fontsize",3);
            xlabel(_("Indices of integration points, as seen by intg()"))

            x = 0:21;
            y = zeros(1,22); y(1) = 3; y(10) = 1;
            subplot(1,2,2)
            plot(x, y, "r");
            title(_("Sampled spike => detected by intg()"), "fontsize",3);
            xlabel(_("Indices of integration points, as seen by intg()"))

            gcf().axes_size = [700 350];
        </scilab:image>
        <para>
            On the left image, the spike lays between the 9th and 10th integration points,
            and is not detected. <literal>intg</literal> considers the function flat.
            On the right, the spike is large enough to be covered by the integration points.
        </para>
        <note>
            When we want to display the computed solution even if the solver has encountered an error,
            we should add the third output argument <literal>ierr</literal>. Then errors become
            simple warnings. This is mostly used in the case of rounding errors.
        </note>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Примеры</title>
        <programlisting role="example"><![CDATA[
// Функция, написанная на языке Scilab
function y = f(x), y = x*sin(30*x)/sqrt(1-((x/(2*%pi))^2)), endfunction
exact = -2.5432596188;
I = intg(0, 2*%pi, f)
abs(exact - I)

// Функция с аргументом, написанном на языке Scilab
function y = f1(x,w), y=x*sin(w*x)/sqrt(1-((x/(2*%pi))^2)), endfunction
I = intg(0, 2*%pi, list(f1,30))
abs(exact - I)

// Функция, написанная на Fortran (требуется компилятор Fortran)
// определение функции Fortran
cd TMPDIR;
F=['      double precision function ffun(x)'
   '      double precision x,pi'
   '      pi=3.14159265358979312d+0'
   '      ffun=x*sin(30.0d+0*x)/sqrt(1.0d+0-(x/(2.0d+0*pi))**2)'
   '      return'
   '      end'];
mputl(F, 'ffun.f')


// компилируем функцию
 l = ilib_for_link('ffun', 'ffun.f', [], 'f');

// добавляем  функцию в рабочее окружение
link(l, 'ffun', 'f')

// интегрируем функцию
I = intg(0, 2*%pi, 'ffun')
abs(exact - I)

// Функция, написанная на C (требуется компилятор C)
// определение C-функции
C=['#include <math.h>'
   'double cfun(double *x)'
   '{'
   '  double y,pi=3.14159265358979312;'
   '  y=*x/(2.0e0*pi);'
   '  return *x*sin(30.0e0**x)/sqrt(1.0e0-y*y);'
   '}'];
mputl(C, 'cfun.c')

//  компилируем функцию
l = ilib_for_link('cfun', 'cfun.c', [], 'c');

// добавляем  функцию в рабочее окружение
link(l, 'cfun', 'c')

// интегрируем функцию
I = intg(0, 2*%pi, 'cfun')
abs(exact - I)
     ]]></programlisting>
    </refsection>
    <refsection role="see also">
        <title>Смотрите также</title>
        <simplelist type="inline">
            <member>
                <link linkend="intc">intc</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="intl">intl</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="inttrap">inttrap</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="intsplin">intsplin</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="ode">ode</link>
            </member>
        </simplelist>
    </refsection>
    <refsection role="history">
        <title>История</title>
        <revhistory>
            <revision>
                <revnumber>6.0.2</revnumber>
                <revdescription>
                    The default value atol of the absolute tolerance is increased from
                    1O<superscript>-14</superscript> to 1O<superscript>-13</superscript>.
                </revdescription>
            </revision>
        </revhistory>
    </refsection>
</refentry>
