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<refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:db="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:scilab="http://www.scilab.org" xml:lang="ja" xml:id="qr">

    <refnamediv>

        <refname>qr</refname>

        <refpurpose>QR 分解</refpurpose>

    </refnamediv>

    <refsynopsisdiv>

        <title>呼び出し手順</title>

        <synopsis>[Q,R]=qr(X [,"e"])

            [Q,R,E]=qr(X [,"e"])

            [Q,R,rk,E]=qr(X [,tol])

        </synopsis>

    </refsynopsisdiv>

    <refsection>

        <title>引数</title>

        <variablelist>

            <varlistentry>

                <term>X</term>

                <listitem>

                    <para>実数または複素数の行列</para>

                </listitem>

            </varlistentry>

            <varlistentry>

                <term>tol</term>

                <listitem>

                    <para>非負の実数</para>

                </listitem>

            </varlistentry>

            <varlistentry>

                <term>Q</term>

                <listitem>

                    <para>正方直交またはユニタリ行列</para>

                </listitem>

            </varlistentry>

            <varlistentry>

                <term>R</term>

                <listitem>

                    <para>

                        <literal>X</literal>と同じ次元の行列

                    </para>

                </listitem>

            </varlistentry>

            <varlistentry>

                <term>E</term>

                <listitem>

                    <para>置換行列</para>

                </listitem>

            </varlistentry>

            <varlistentry>

                <term>rk</term>

                <listitem>

                    <para>

                        整数 (<literal>X</literal>のQRランク)

                    </para>

                </listitem>

            </varlistentry>

        </variablelist>

    </refsection>

    <refsection>

        <title>説明</title>

        <variablelist>

            <varlistentry>

                <term>[Q,R] = qr(X)</term>

                <listitem>

                    <para>

                        <literal>X= Q*R</literal>となるような

                        <literal>X</literal>と同じ次元の

                        上三角行列<literal>R</literal>および直交(複素数の場合はユニタリ)行列

                        <literal>Q</literal>を出力します.

                        <literal>[Q,R] = qr(X,"e")</literal>は次にように

                        "エコノミーサイズ"で出力します:

                        <literal>X</literal> が m行n列 (m &gt; n)の場合,

                        <literal>Q</literal>の最初のn列のみが

                        <literal>R</literal>の最初のn行と同時に計算されます.

                    </para>

                    <para>

                        <literal>Q*R = X</literal> から,

                        行列 <literal>X</literal>のk番目の列は,

                        (係数 <literal> R(1,k), ..., R(k,k) </literal>を用いて)

                        <literal>Q</literal>の最初のk列の線形結合で表されます.

                        <literal>Q</literal>の最初のk列は,<literal>X</literal>の最初のk列

                        に広がる部分空間の直交基底を作成します.

                        <literal>X</literal>の列<literal>k</literal>(すなわち, <literal>X(:,k)</literal> )

                        が<literal>X</literal>の最初の<literal>p</literal>列の線形結合の場合,

                        エントリ<literal>R(p+1,k), ..., R(k,k)</literal>は 0 となります.

                        この場合,<literal>R</literal>は上台形となります.

                        <literal>X</literal> がランク<literal>rk</literal>を有する場合,

                        行 <literal>R(rk+1,:), R(rk+2,:), ...</literal> は 0 となります.

                    </para>

                </listitem>

            </varlistentry>

            <varlistentry>

                <term>[Q,R,E] = qr(X)</term>

                <listitem>

                    <para>

                        <literal>X*E =    Q*R</literal>となるような

                        (列)置換行列<literal>E</literal>,

                        降順の対角要素を有する上三角行列 <literal>R</literal>,

                        直交(またはユニタリ)<literal>Q</literal>

                        を出力します.

                        <literal>rk</literal>が<literal>X</literal>のランクの場合,

                        <literal>R</literal>の主対角項に沿った

                        最初の<literal>rk</literal>個のエントリ,

                        すなわち,<literal>R(1,1), R(2,2), ..., R(rk,rk)</literal>は

                        全て0以外となります.

                        <literal>[Q,R,E] =  qr(X,"e")</literal> は

                        "エコノミーサイズ"で出力します:

                        <literal>X</literal> が m行n列 (m &gt; n)の場合,

                        <literal>Q</literal>の最初のn列のみが

                        <literal>R</literal>の最初のn行と同時に計算されます.

                    </para>

                </listitem>

            </varlistentry>

            <varlistentry>

                <term>[Q,R,rk,E] = qr(X ,tol)</term>

                <listitem>

                    <para>

                        <literal>rk</literal> = <literal>X</literal>のランクの推定値

                        を返します.

                        すなわち, <literal>rk</literal>は,

                        指定した閾値<literal>tol</literal>より大きな

                        <literal>R</literal>の対角要素の数となります.

                    </para>

                </listitem>

            </varlistentry>

            <varlistentry>

                <term>[Q,R,rk,E] = qr(X) </term>

                <listitem>

                    <para>

                        <literal>rk</literal> = <literal>X</literal>のランクの推定値

                        を返します.

                        すなわち,<literal>rk</literal> は

                        <literal>tol=R(1,1)*%eps*max(size(R))</literal>より大きな

                        <literal>R</literal>の対角要素の数となります.

                        <literal>R</literal>の条件数を用いる

                        ランク計算型のQR分解については,<literal>rankqr</literal>を

                        参照してください.

                    </para>

                </listitem>

            </varlistentry>

        </variablelist>

    </refsection>

    <refsection>

        <title>例</title>

        <programlisting role="example"><![CDATA[
// QR factorization, generic case
// X is tall (full rank)
X=rand(5,2);[Q,R]=qr(X); [Q'*X R]
//X is fat (full rank)
X=rand(2,3);[Q,R]=qr(X); [Q'*X R]
//Column 4 of X is a linear combination of columns 1 and 2:
X=rand(8,5);X(:,4)=X(:,1)+X(:,2); [Q,R]=qr(X); R, R(:,4)
//X has rank 2, rows 3 to $ of R are zero:
X=rand(8,2)*rand(2,5);[Q,R]=qr(X); R
//Evaluating the rank rk: column pivoting ==> rk first
//diagonal entries of R are non zero :
A=rand(5,2)*rand(2,5);
[Q,R,rk,E] = qr(A,1.d-10);
norm(Q'*A-R)
svd([A,Q(:,1:rk)])    //span(A) =span(Q(:,1:rk))
 ]]></programlisting>

    </refsection>

    <refsection role="see also">

        <title>参照</title>

        <simplelist type="inline">

            <member>

                <link linkend="rankqr">rankqr</link>

            </member>

            <member>

                <link linkend="rank">rank</link>

            </member>

            <member>

                <link linkend="svd">svd</link>

            </member>

            <member>

                <link linkend="rowcomp">rowcomp</link>

            </member>

            <member>

                <link linkend="colcomp">colcomp</link>

            </member>

        </simplelist>

    </refsection>

    <refsection>

        <title>使用する関数</title>

        <para>

            qr 分解はLapack ルーチン DGEQRF, DGEQPF,

            DORGQR (実数行列)および  ZGEQRF, ZGEQPF, ZORGQR (複素数の場合)

            に基づいています.

        </para>

    </refsection>

</refentry>

