<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!--
 * Scilab ( https://www.scilab.org/ ) - This file is part of Scilab
 * Copyright (C) 2008 - INRIA - Farid BELAHCENE
 * Copyright (C) 2012 - 2016 - Scilab Enterprises
 * Copyright (C) 2021 - Samuel GOUGEON - Le Mans Université
 *
 * This file is hereby licensed under the terms of the GNU GPL v2.0,
 * pursuant to article 5.3.4 of the CeCILL v.2.1.
 * This file was originally licensed under the terms of the CeCILL v2.1,
 * and continues to be available under such terms.
 * For more information, see the COPYING file which you should have received
 * along with this program.
 *
 -->
<refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"
          xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:ns5="http://www.w3.org/1999/xhtml"
          xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:db="http://docbook.org/ns/docbook"
          xmlns:scilab="http://www.scilab.org" xml:id="interp1" xml:lang="ru">
    <refnamediv>
        <refname>interp1</refname>
        <refpurpose>одномерная интерполяция в режиме nearest, linear или spline</refpurpose>
    </refnamediv>
    <refsynopsisdiv>
        <title>Синтаксис</title>
        <synopsis>
          yp = interp1(y, xp)
          yp = interp1(x, y, xp)
          yp = interp1(.., xp, method)
          yp = interp1(.., xp, method, extrapolation)
        </synopsis>
    </refsynopsisdiv>
    <refsection>
        <title>Аргументы</title>
        <variablelist>
            <varlistentry>
                <term>x</term>
                <listitem>
                    вектор по меньшей мере из двух вещественных чисел: ось абсцисс известных узлов
                    интерполяции, без повторов. По умолчанию
                    <itemizedlist>
                        <listitem>
                            если <varname>y</varname> является вектором: <literal>x=1:length(y)</literal>.
                        </listitem>
                        <listitem>
                            если <varname>y</varname> является матрицей или гиперматрицей:
                            <literal>x=1:size(y,1)</literal>.
                        </listitem>
                    </itemizedlist>
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>y</term>
                <listitem>
                    вектор, матрица или гиперматрица вещественных или комплексных
                    чисел: значения в узлах интерполяции в соответствующих значениях
                    оси абсцисс <varname>x</varname>.
                    <itemizedlist>
                        <listitem>
                            если <varname>y</varname> является вектором, то <varname>x</varname>
                            и <varname>y</varname> должны быть одной длины.
                        </listitem>
                        <listitem>
                            если <varname>y</varname> является матрицей или гиперматрицей, то мы
                            должны иметь <literal>length(x)==size(y,1)</literal>. Каждый столбец
                            <varname>y</varname> тогда интерполирован в зависимости от тех же
                            значений оси абсцисс <varname>x</varname>, для указанного
                            <varname>xp</varname>.
                        </listitem>
                    </itemizedlist>
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>xp</term>
                <listitem>
                    скаляр, вектор, матрица или гиперматрица десятичных чисел:
                    ось абсцисс точек, чьи значения <varname>yp</varname> должны быть
                    вычислены в соответствии с данными узлов интерполяции.
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>yp</term>
                <listitem>
                    вектор, матрица или гиперматрица чисел: интерполированные значения
                    <varname>y</varname> в указанном <varname>xp</varname>.
                    <itemizedlist>
                        <listitem>
                            если <varname>y</varname> является вектором:
                            <varname>yp</varname> имеет размер <varname>xp</varname>.
                            <para/>
                        </listitem>
                        <listitem>
                            если <varname>y</varname> является матрицей или гиперматрицей:
                            <itemizedlist>
                                <listitem>
                                    если <varname>xp</varname> является скаляром или вектором:
                                    <literal>size(yp)</literal> равен
                                    <literal>[length(xp) size(y)(2:$)]</literal>
                                </listitem>
                                <listitem>
                                    если <varname>xp</varname> является матрицей или
                                    гиперматрицей: <literal>size(yp)</literal> равен
                                    <literal>[size(xp) size(y)(2:$)]</literal>
                                </listitem>
                            </itemizedlist>
                        </listitem>
                    </itemizedlist>
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>method</term>
                <listitem>
                    строковое значение, определяющее метод интерполяции. Возможными
                    значениями и обработкой являются:
                    <para/>
                    <table>
                        <tr>
                            <td><emphasis role="bold">"linear"</emphasis>:</td>
                            <td>
                                линейная интерполяция между последовательными узлами, используется
                                по умолчанию.
                            </td>
                        </tr>
                        <tr>
                            <td><emphasis role="bold">"spline"</emphasis>:</td>
                            <td>
                                интерполяция кубическими сплайнами
                            </td>
                        </tr>
                        <tr>
                            <td><emphasis role="bold">"nearest"</emphasis>:</td>
                            <td>
                                <para>
                                    для каждого значения <literal>xp(j)</literal> <literal>yp(j)</literal>
                                    принимает значение <literal>y(i)</literal>, соответствующее
                                    <literal>x(i)</literal>, ближайшего соседа
                                    <literal>xp(j)</literal>
                                </para>
                            </td>
                        </tr>
                    </table>
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>extrapolation</term>
                <listitem>
                    строковое значение или число, определяющее элементы <literal>yp(j)</literal>
                    для значений <literal>xp(j)</literal> за пределами интервала
                    <literal>[x(1)=min(x),x($)=max(x)]</literal>. Мы полагаем здесь и далее,
                    что <varname>x</varname> и <varname>y</varname> уже соответственно
                    отсортированы.
                    <para/>
                    <table>
                        <tr>
                            <td><emphasis role="bold">"extrap"</emphasis>:</td>
                            <td>
                                <literal>interp1(x,y,xp, method, "extrap")</literal> эквивалентен
                                <literal>interp1(x,y,xp, method, method)</literal>.
                            </td>
                        </tr>
                        <tr>
                            <td><emphasis role="bold">"linear"</emphasis>:</td>
                            <td>
                                Может использоваться с методами интерполяции
                                <literal>"spline"</literal> (и, очевидно,
                                <literal>"linear"</literal>).
                            </td>
                        </tr>
                        <tr>
                            <td><emphasis role="bold">"periodic"</emphasis>:</td>
                            <td>
                                Этот тип экстраполяции может использоваться с методами
                                интерполяции <literal>"linear"</literal> или
                                <literal>"spline"</literal>. Тогда: если <varname>y</varname>
                                является вектором, то требуется, чтобы
                                <literal>y(1)==y($)</literal>; в противном случае требуется,
                                чтобы <literal>y(1,:)==y($,:)</literal>.
                            </td>
                        </tr>
                        <tr>
                            <td><emphasis role="bold">"edgevalue"</emphasis>:</td>
                            <td>
                                Тогда <literal>yp(i)=y(1)</literal> для каждого
                                <literal>xp(i)&lt;x(1)</literal>, и
                                <literal>yp(i)=y($)</literal> для каждого
                                <literal>xp(i)>x($)</literal>.
                            </td>
                        </tr>
                        <tr>
                            <td><emphasis role="bold">padding</emphasis>:</td>
                            <td>
                                <varname>padding</varname> является десятичным или
                                комплексным числом, используемым для установки
                                <literal>yp(i)=padding</literal> для каждого
                                <literal>xp(i) ∉ [min(x),max(x)]</literal>. Например:
                                <literal>yi=interp1(x,y,xp,method, 0)</literal>.
                            </td>
                        </tr>
                        <tr>
                            <td><emphasis role="bold">(none)</emphasis>:</td>
                            <td>
                                По умолчанию экстраполяция выполняется сплайнами, когда
                                сплайны используются для интерполяции и дополнением
                                значениями <literal>%nan</literal>, если интерполяция
                                линейна или по "ближайшему" узлу.
                            </td>
                        </tr>
                    </table>
                </listitem>
            </varlistentry>
        </variablelist>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Описание</title>
        <para>
            Указывая <literal>(x,y,xp)</literal>, данная функция вычисляет элементы
            <varname>yp</varname>, соответствующие <varname>xp</varname> с помощью интерполяции
            между известными данными, указанными в узлах <literal>(x,y)</literal>.
        </para>
        <para>
            <varname>x</varname> предварительно отсортирован в порядке возрастания, а значения
            <varname>y</varname> либо по столбцам тогда сортируются соответственно.
        </para>
        <para>
            <emphasis role="bold">Интерполяция комплексных значений</emphasis>:
            Если <varname>y</varname> является комплексным, то его вещественная и мнимая
            части интерполируются отдельно, и потом суммируются для формирования
            комплексного <varname>yp</varname>.
        </para>
        <para>
            <emphasis role="bold">interp1(x,y,xp,"nearest")</emphasis>:
            Для любого <varname>xp</varname> в середине интервала
            <literal>[x(i),x(i+1)]</literal> верхняя граница <literal>x(i+1)</literal>
            рассматривается как ближайшее значение <varname>x</varname>, и присваивается
            <literal>yp=y(i+1)</literal>.
        </para>
        <refsect3>
            <title>линейные интерполяции</title>
            Они выполняются через функцию <literal>linear_interpn(..)</literal>,
            с соответствующей опцией интерполяции <literal>"edgevalue"→"C0"</literal>,
            <literal>"linear"→"natural"</literal>, <literal>"periodic"→"periodic"</literal>.
        </refsect3>
        <refsect3>
            <title>интерполяции сплайнами</title>
            <para>
                <emphasis role="bold">interp1(..,xp,"spline")</emphasis> или
                <emphasis role="bold">interp1(..,xp,"spline","spline")</emphasis> или
                <emphasis role="bold">interp1(..,xp,"spline","extrap")</emphasis>
                используют условия граней <literal>не_узел</literal>.
                Экстраполяция выполняется с помощью обоих сплайновых полиномов,
                вычисленных на гранях <literal>(x,y)</literal>.
            </para>
            <para>
                <emphasis role="bold">interp1(..,xp,"spline","edgevalue")</emphasis>
                использует условия граней <literal>не_узел</literal>, а затем вызывает
                <literal>interp(..,"C0")</literal>, чтобы выполнить фактическую
                интерполяцию и экстраполяцию.
            </para>
            <para>
                <emphasis role="bold">interp1(..,xp,"spline","periodic")</emphasis>
                вызывает оба <literal>splin(..)</literal>, а затем <literal>interp(..)</literal>
                с их опцией <literal>"periodic"</literal>.
            </para>
            <para>
                <emphasis role="bold">interp1(..,xp,"spline","linear")</emphasis>
                вызывает <literal>splin(..,"natural")</literal> для условий линейных граней, а затем
                передаётся в <literal>interp(..,"linear")</literal>.
            </para>
        </refsect3>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Примеры</title>
        <programlisting role="example"><![CDATA[
x = linspace(0, 10, 11)';
y = sin(x);
xx = linspace(0,10,1000)';
yy2 = interp1(x, y, xx, 'linear');
yy1 = interp1(x, y, xx, 'nearest');
yy3 = interp1(x, y, xx, 'spline');
clf
h = plot(xx, [yy1 yy2 yy3], x, y, '.')
h(1).mark_size = 8;
title "Interpolation of a poorly sampled sin() function" fontsize 3
legend(['nearest','linear','spline','nodes'], "in_lower_left");
 ]]></programlisting>
        <scilab:image>
            x = linspace(0, 10, 11)';
            y = sin(x);
            xx = linspace(0,10,1000)';
            yy2 = interp1(x, y, xx, 'linear');
            yy1 = interp1(x, y, xx, 'nearest');
            yy3 = interp1(x, y, xx, 'spline');
            clf
            h = plot(xx, [yy1 yy2 yy3], x, y, '.')
            h(1).mark_size = 8;
            title "Interpolation of a poorly sampled sin() function" fontsize 3
            legend(['nearest','linear','spline','nodes'], "in_lower_left");
            gcf().axes_size = [600 400];
        </scilab:image>
    </refsection>
    <refsection role="see also">
        <title>Смотрите также</title>
        <simplelist type="inline">
            <member>
                <link linkend="interp">interp</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="splin">splin</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="linear_interpn">linear_interpn</link>
            </member>
        </simplelist>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>История</title>
        <revhistory>
            <revision>
                <revnumber>6.1.1</revnumber>
                <revremark>
                    <itemizedlist>
                        <listitem>
                            Для комплексных значений <varname>y</varname>,
                            <literal>imag(y)</literal> более не игнорируется:
                            <literal>real(y)</literal> и <literal>imag(y)</literal>
                            части интерполируются раздельно.
                        </listitem>
                        <listitem>
                            Экстраполяция <literal>"periodic"</literal> добавлена для
                            линейной и сплайновой интерполяций.
                        </listitem>
                        <listitem>
                            Экстраполяция <literal>"edgevalue"</literal> добавлена для
                            всех интерполяций ближайшего соседа, линейной и сплайновой.
                        </listitem>
                        <listitem>
                            Экстраполяция <literal>"linear"</literal> добавлена для
                            сплайновой интерполяции.
                        </listitem>
                        <listitem>
                            Когда <varname>xp</varname> является гиперматрицей и
                            <literal>size(xp,1)==1</literal>, <literal>size(yp)</literal>
                            теперь всегда <literal>[size(xp) size(y)(2,$)</literal> вместо
                            <literal>[size(xp,2:$), size(y)(2,$)</literal>.
                        </listitem>
                    </itemizedlist>
                </revremark>
            </revision>
        </revhistory>
    </refsection>
</refentry>
