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<refentry xmlns="http://docbook.org/ns/docbook" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"
          xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:ns5="http://www.w3.org/1999/xhtml"
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    <refnamediv>
        <refname>intg</refname>
        <refpurpose>intégration numérique adaptative</refpurpose>
    </refnamediv>
    <refsynopsisdiv>
        <title>Séquence d'appel</title>
        <synopsis>
            [v, err] = intg(a, b, f)
            [v, err] = intg(a, b, f, atol)
            [v, err] = intg(a, b, f, atol, rtol)
            [v, err, ierr] = intg(..)
        </synopsis>
    </refsynopsisdiv>
    <refsection>
        <title>Paramètres</title>
        <variablelist>
            <varlistentry>
                <term>a, b</term>
                <listitem>
                    nombres réels finis : bornes de l'intégrale.
                    <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>f</term>
                <listitem>
                    fonction à intégrer, spécifiée soit par son nom litéral (ex: "sind"),
                    soit par son identifiant (ex : sind), soit par une liste (si la fonction
                    attend en outre des paramètres).
                      <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>atol</term>
                <listitem>
                      nombre réel positif : erreur absolue maximale tolérée sur le résultat
                      (1.d-13 par défaut).
                      <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>rtol</term>
                <listitem>
                      nombre réel positif : erreur relative maximale tolérée sur le résultat
                      (1.d-8 par défaut).
                      <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>err</term>
                <listitem>
                      estimation de l'erreur absolue sur le résultat.
                      <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
            <varlistentry>
                <term>ierr</term>
                <listitem>
                      numéro d'erreur (= 0 si absence d'erreur).
                      <para/>
                </listitem>
            </varlistentry>
        </variablelist>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Description</title>
        <para>
            <literal>intg(a,b,f)</literal> approche l'intégrale de
            <literal>a</literal> à <literal>b</literal> de <literal>f(t)dt</literal>.
            La fonction <literal>f</literal> doit être continue.
        </para>
        <para>
            L'évaluation satisfait si possible <literal>abs(I-v)&lt;=
                max(atol,er*abs(I))
            </literal>
            où <literal>I</literal> représente la valeur exacte de
            l'intégrale.
        </para>
        <para>
            <literal>f</literal> est une fonction externe :
        </para>
        <para>
            Si <literal>f</literal> est une fonction Scilab elle doit avoir la
            liste d'appel : <literal>y = f(t)</literal>
        </para>
        <para>
            Si <literal>f</literal> est une liste, cette liste doit avoir la
            structure suivante : <literal> list(f,x1,x2,...)</literal> où
            <literal>f</literal> est une fonction Scilab avec la liste d'appel :
            <literal>f(t,x1,x2,...)</literal>.
        </para>
        <para>
            Si <literal>f</literal> est une chaîne de caractères, ce paramètre
            désigne le nom d'un fonction Fortran ou d'une procédure C ayant une liste
            d'appel fixée:
        </para>
        <para>
            Dans le cas Fortran la liste d'appel doit être: <literal>double
                precision function f(x)
            </literal>
            où <literal>x</literal> est aussi un
            nombre double precision.
        </para>
        <para>
            Dans le cas d'une fonction en C, la liste d'appel doit être:
            <literal>double f(double *x)</literal>.
        </para>
        <para>
            <emphasis role="bold">Fonctions Utilisées</emphasis> : les programmes correspondants
            (dqags.f et dqagse.f de quadpack) se trouvent dans le répertoire
            SCI/modules/differential_equations/src/fortran/.
        </para>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Limitation connue</title>
        <para>
            Comme tous les intégrateurs, <literal>intg</literal> est susceptible de manquer des pics.
        </para>
        <para>
            Une fonction plate contenant un pic sera considérée totalement plate si le pic est
            suffisamment raide.
        </para>
        <para>
            Cela ne peut pas être évité. On comprend facilement pourquoi dès que l'on comprend
            comment l'intégrateur opère.
            En effet, <literal>intg</literal> utilise la méthode des 21 points de Gauss-Kronrod.
            Ainsi, s'il y a un pic entre deux points d'intégration consécutifs,
            il ne sera pas détecté. La fonction sera localement considérée comme lisse.
        </para>
        <para>
            Cependant, un warning s'affichera si la fonction est considérée très lisse,
            qui suggèrera à l'utilisateur de réduire l'intervalle d'intégration,
            s'il pense que des pics ont été manqués.
        </para>
        <para>
            Les graphes suivants illustrent ce phénomène :
        </para>
        <scilab:image localized="true">
            x = 0:.1:22;
            y = zeros(1,221); y(1) = 3; y(96) = 1;
            subplot(1,2,1)
            plot(x, y, "r");
            title(_("Unsampled Spike => missed by intg()"), "fontsize",3);
            xlabel(_("Indices of integration points, as seen by intg()"))

            x = 0:21;
            y = zeros(1,22); y(1) = 3; y(10) = 1;
            subplot(1,2,2)
            plot(x, y, "r");
            title(_("Sampled spike => detected by intg()"), "fontsize",3);
            xlabel(_("Indices of integration points, as seen by intg()"))

            gcf().axes_size = [700 350];
        </scilab:image>
        <para>
            Sur le graphe de gauche, le pic réside entre les points d'intégration n° 9 et 10.
            Il n'est pas détecté. <literal>intg</literal> considère la fonction comme plate.
            À droite, le pic est suffisamment large pour être échantillonné par intg().
        </para>
        <note>
            Si l'utilisateur veut afficher la solution même si le solveur a rencontré une erreur,
            il doit ajouter le troisième argument de sortie <literal>ierr</literal>, ce qui transformera
            les erreurs en warnings. Ceci est surtout utilisé dans les cas d'erreurs d'arrondi.
        </note>
    </refsection>
    <refsection>
        <title>Exemples</title>
        <programlisting role="example"><![CDATA[
// External écrit en Scilab
function y = f(x), y = x*sin(30*x)/sqrt(1-((x/(2*%pi))^2)), endfunction
exact = -2.5432596188;
I = intg(0, 2*%pi, f)
abs(exact - I)

// External écrit en Scilab avec un argument
function y = f1(x,w), y = x*sin(w*x)/sqrt(1-((x/(2*%pi))^2)), endfunction
I = intg(0, 2*%pi, list(f1,30))
abs(exact - I)

// External écrit en Fortran (un compilateur Fortran est nécessaire)
// Ecriture du code fortran
cd TMPDIR;
F=['      double precision function ffun(x)'
   '      double precision x,pi'
   '      pi=3.14159265358979312d+0'
   '      ffun=x*sin(30.0d+0*x)/sqrt(1.0d+0-(x/(2.0d+0*pi))**2)'
   '      return'
   '      end'];
mputl(F, 'ffun.f')

// compilation du code Fortran
l = ilib_for_link('ffun','ffun.f',[],'f');

// link incrémental
link(l,'ffun','f')

// integration de la fonction
I = intg(0, 2*%pi, 'ffun')
abs(exact - I)

// External écrit en C (un compilateur C est nécessaire)
// Ecriture du code C
C=['#include <math.h>'
   'double cfun(double *x)'
   '{'
   '  double y,pi=3.14159265358979312;'
   '  y=*x/(2.0e0*pi);'
   '  return *x*sin(30.0e0**x)/sqrt(1.0e0-y*y);'
   '}'];
mputl(C,'cfun.c')

// compilation du code C
l = ilib_for_link('cfun', 'cfun.c', [], 'c');

// incremental linking
link(l, 'cfun', 'c')

// integration de la fonction
I = intg(0, 2*%pi, 'cfun')
abs(exact - I)
     ]]></programlisting>
    </refsection>
    <refsection role="see also">
        <title>Voir aussi</title>
        <simplelist type="inline">
            <member>
                <link linkend="intc">intc</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="intl">intl</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="inttrap">inttrap</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="intsplin">intsplin</link>
            </member>
            <member>
                <link linkend="ode">ode</link>
            </member>
        </simplelist>
    </refsection>
    <refsection role="history">
        <title>Historique</title>
        <revhistory>
            <revision>
                <revnumber>6.0.2</revnumber>
                <revdescription>
                    La valeur par défaut atol de l'erreur absolue passe de
                    10<superscript>-14</superscript> à 10<superscript>-13</superscript>.
                </revdescription>
            </revision>
        </revhistory>
    </refsection>
</refentry>
