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# 30. Simetrías

Paquete escrito para Macsyma-Symbolics por Annick Valibouze (http://www-calfor.lip6.fr/~avb/). Los algoritmos están descritos en los siguientes artículos:

1. Fonctions symétriques et changements de bases. Annick Valibouze. EUROCAL'87 (Leipzig, 1987), 323-332, Lecture Notes in Comput. Sci 378. Springer, Berlin, 1989.
   http://www.stix.polytechnique.fr/publications/1984-1994.html
2. Résolvantes et fonctions symétriques. Annick Valibouze. Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC'89 (Portland, Oregon). ACM Press, 390-399, 1989.
   http://www-calfor.lip6.fr/~avb/DonneesTelechargeables/MesArticles/issac89ACMValibouze.pdf
3. Symbolic computation with symmetric polynomials, an extension to Macsyma. Annick Valibouze. Computers and Mathematics (MIT, USA, June 13-17, 1989), Springer-Verlag, New York Berlin, 308-320, 1989.
   http://www.stix.polytechnique.fr/publications/1984-1994.html
4. Théorie de Galois Constructive. Annick Valibouze. Mémoire d'habilitation à diriger les recherches (HDR), Université P. et M. Curie (Paris VI), 1994

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## 30.1 Funciones y variables para simetrías

Función: comp2pui (n, l)

  Realiza el paso de las funciones simétricas completas de la lista l a las funciones simétricas elementales de 0 a n. En caso de que la lista l contenga menos de `n+1` elementos, se completará con valores formales. El primer elemento de la lista l almacena el cardinal del alfabeto, en caso de que exista; en caso contrario se le da el valor n.

      (%i1) comp2pui (3, [4, g]);
                              2                    2
      (%o1)    [4, g, 2 h2 - g , 3 h3 - g h2 + g (g  - 2 h2)]

Función: cont2part (pc, lvar)

  Convierte el polinomio particionado asociado a la forma contraída pc, cuyas variables se encuentran en lvar.

      (%i1) pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
                                 3    4      5
      (%o1)                   2 a  b x  y + x
      (%i2) cont2part (pc, [x, y]);
                                         3
      (%o2)              [[1, 5, 0], [2 a  b, 4, 1]]

  Otras funciones para efectuar cambios de representación son: `contract`, `explose`, `part2cont`, `partpol`, `tcontract` y `tpartpol`.

Función: contract (psym, lvar)

  Convierte una forma contraída (como un monomio por órbita sobre la acción del grupo simétrico) del polinomio psym cuyas variables se encuentran en la lista lvar. La función `explose` realiza la operación inversa. A mayopes, la función `tcontract` comprueba la simetría del polinomio.

      (%i1) psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
               3      4      3      4      3    4        3    4
      (%o1) 2 a  b y z  + 2 a  b x z  + 2 a  b y  z + 2 a  b x  z

                                                 3      4      3    4
                                            + 2 a  b x y  + 2 a  b x  y
      (%i2) contract (psym, [x, y, z]);
                                    3    4
      (%o2)                      2 a  b x  y

  Otras funciones para efectuar cambios de representación son:

  `cont2part`, `explose`, `part2cont`, `partpol`, `tcontract`, `tpartpol`.

Función: direct ([p_1, ..., p_n], y, f, [lvar_1, ..., lvar_n])

  Calcula la imagen directa (véase M. Giusti, D. Lazard et A. Valibouze, ISSAC 1988, Roma) asociada a la función f, en las listas de variables lvar_1, ..., lvar_n, y en los polinomios p_1, ..., p_n de una variable y. Si la expresión de f no depende de variable alguna, no sólo es inútil aportar esa variable, sino que también disminuyen considerablemente los cálculos cuando la variable no se declara.

      (%i1) direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
                    z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
             2
      (%o1) y  - e1 f1 y

                                       2            2             2   2
                        - 4 e2 f2 - (e1  - 2 e2) (f1  - 2 f2) + e1  f1
                      + -----------------------------------------------
                                               2
      (%i2) ratsimp (%);
                    2                2                   2
      (%o2)        y  - e1 f1 y + (e1  - 4 e2) f2 + e2 f1
      (%i3) ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2],
                    z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
             6            5         2                        2    2   4
      (%o3) y  - 2 e1 f1 y  + ((2 e1  - 6 e2) f2 + (2 e2 + e1 ) f1 ) y

                                3                               3   3
       + ((9 e3 + 5 e1 e2 - 2 e1 ) f1 f2 + (- 2 e3 - 2 e1 e2) f1 ) y

               2       2        4    2
       + ((9 e2  - 6 e1  e2 + e1 ) f2

                          2       2       2                   2    4
       + (- 9 e1 e3 - 6 e2  + 3 e1  e2) f1  f2 + (2 e1 e3 + e2 ) f1 )

        2          2                      2     3          2
       y  + (((9 e1  - 27 e2) e3 + 3 e1 e2  - e1  e2) f1 f2

                       2            2    3                5
       + ((15 e2 - 2 e1 ) e3 - e1 e2 ) f1  f2 - 2 e2 e3 f1 ) y

                 2                   3           3     2   2    3
       + (- 27 e3  + (18 e1 e2 - 4 e1 ) e3 - 4 e2  + e1  e2 ) f2

               2      3                   3    2   2
       + (27 e3  + (e1  - 9 e1 e2) e3 + e2 ) f1  f2

                         2    4        2   6
       + (e1 e2 e3 - 9 e3 ) f1  f2 + e3  f1

  Búsqueda del polinomio cuyas raíces son la suma a+u o a es la raíz de z^2 - e1* z + e2 y u es la raíz de z^2 - f1* z + f2

      (%i1) ratsimp (direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
                                z, a + u, [[u], [a]]));
             4                    3             2
      (%o1) y  + (- 2 f1 - 2 e1) y  + (2 f2 + f1  + 3 e1 f1 + 2 e2

           2   2                              2               2
       + e1 ) y  + ((- 2 f1 - 2 e1) f2 - e1 f1  + (- 2 e2 - e1 ) f1

                        2                     2            2
       - 2 e1 e2) y + f2  + (e1 f1 - 2 e2 + e1 ) f2 + e2 f1  + e1 e2 f1

           2
       + e2

  La función `direct` acepta dos indicadores: `elementaires` (elementales) y `puissances` (potenciales, que es el valor por defecto) que permiten hacer la descomposición de los polinomios simétricos que aparezcan en los cálculos en funciones simétricas elementales o en funciones potenciales, respectivamente.

  Funciones de `sym` utilizadas en esta función:

  `multi_orbit`(por tanto `orbit`),`pui_direct`, `multi_elem` (por tanto `elem`), `multi_pui` (por tanto `pui`), `pui2ele`, `ele2pui` (si al indicador `direct` se le asignó `puissances`).

Función: ele2comp (m, l)

  Pasa las funciones simétricas elementales a funciones completas, de forma similar a `comp2ele` y `comp2pui`.

  Otras funciones para cambio de bases son:

  `comp2ele`, `comp2pui`, `ele2pui`, `elem`, `mon2schur`, `multi_elem`, `multi_pui`, `pui`, `pui2comp`, `pui2ele`, `puireduc` y `schur2comp`.

Función: ele2polynome (l, z)

  Devuelve el polinomio en z en el que las funciones simétricas elementales de las raíces son las de la lista l. `l = [n, e_1, ..., e_n]`, donde n es el grado del polinomio y e_i la i-ésima función simétrica elemental.

      (%i1) ele2polynome ([2, e1, e2], z);
                                2
      (%o1)                    z  - e1 z + e2
      (%i2) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3  - 56*x + 22, x);
      (%o2)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
      (%i3) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                        7       5       3
      (%o3)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22

  La función recíproca es `polynome2ele (P, z)`

  Véanse también `polynome2ele` y `pui2polynome`.

Función: ele2pui (m, l)

  Pasa las funciones simétricas elementales a funciones completas, de forma similar a `comp2ele` y `comp2comp`.

  Otras funciones para cambio de bases son:

  `comp2ele`, `comp2pui`, `ele2comp`, `elem`, `mon2schur`, `multi_elem`, `multi_pui`, `pui`, `pui2comp`, `pui2ele`, `puireduc` y `schur2comp`.

Función: elem (ele, sym, lvar)

  Descompone el polinomio simétrico sym con las variables continuas de la lista lvar en las funciones simétricas elementales contenidas en la lista ele. El primer elemento de la lista ele almacena el cardinal del alfabeto, en caso de que exista; en caso contrario se le da como valor el grado del polinomio sym. Si faltan valores en la lista ele, ésta se completará con valores formales del tipo "ei". El polinomio sym puede especificarse de tres formas diferentes: contraído (en cuyo caso `elem` debe valer 1, que es el valor por defecto), particionado (`elem` valdrá 3) o extendido (por ejemplo, el polinomio completo) (en este caso, `elem` valdrá 2). La utilización de la función `pui` se hace siguiendo este mismo modelo.

  Con un alfabeto de cardinal 3 con e1, la primera función simétrica elemental valiendo 7, el polinomio simétrico de tres variables cuya forma contraída (aquí dependiendo solamente de dos de sus variables) es ^4-2*x*y, se descompone en funciones simétricas elementales:

      (%i1) elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
      (%o1) 7 (e3 - 7 e2 + 7 (49 - e2)) + 21 e3

                                               + (- 2 (49 - e2) - 2) e2
      (%i2) ratsimp (%);
                                    2
      (%o2)             28 e3 + 2 e2  - 198 e2 + 2401

  Otras funciones para cambio de bases son: `comp2ele`, `comp2pui`, `ele2comp`, `ele2pui`, `mon2schur`, `multi_elem`, `multi_pui`, `pui`, `pui2comp`, `pui2ele`, `puireduc` y `schur2comp`.

Función: explose (pc, lvar)

  Devuelve el polinomio simétrico asociado a la forma contraída pc. La lista lvar contiene las variables.

      (%i1) explose (a*x + 1, [x, y, z]);
      (%o1)                  a z + a y + a x + 1

  Otras funciones para efectuar cambios de representación son: `contract`, `cont2part`, `part2cont`, `partpol`, `tcontract` y `tpartpol`.

Función: kostka (part_1, part_2)

  Función escrita por P. Espert, calcula el número de Kostka asociado a las particiones part_1 y part_2.

      (%i1) kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]);
      (%o1)                           6

Función: lgtreillis (n, m)

  Devuelve la lista de particiones de peso n y longitud m.

      (%i1) lgtreillis (4, 2);
      (%o1)                   [[3, 1], [2, 2]]

  Véanse también `ltreillis`, `treillis` y `treinat`.

Función: ltreillis (n, m)

  Devuelve la lista de particiones de peso n y longitud menor o igual que m.

      (%i1) ltreillis (4, 2);
      (%o1)               [[4, 0], [3, 1], [2, 2]]

  Véanse tambiént `lgtreillis`, `treillis` y `treinat`.

Función: mon2schur (l)

  La lista l representa la función de Schur S_l: Se tiene l = [i_1, i_2, ..., i_q] con i_1 <= i_2 <= ... <= i_q. La función de Schur es S_[i_1, i_2, ..., i_q], el menor de la matriz infinita (h_{i-j}) i >= 1, j >= 1 compuesto de las q primeras filas y columnas i_1 + 1, i_2 + 2, ..., i_q + q.

  Se ha escrito esta función de Schur en función de las formas monomiales utilizando las funciones `treinat` y `kostka`. La forma devuelta es un polinomio simétrico en una de sus representaciones contraídas con las variables x_1, x_2, ...

      (%i1) mon2schur ([1, 1, 1]);
      (%o1)                       x1 x2 x3
      (%i2) mon2schur ([3]);
                                        2        3
      (%o2)                x1 x2 x3 + x1  x2 + x1
      (%i3) mon2schur ([1, 2]);
                                            2
      (%o3)                  2 x1 x2 x3 + x1  x2

  Para 3 variables se tendrá:

         2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1
          + x2^2 x3 + x3^2 x2

  Otras funciones para cambio de bases son:

  `comp2ele`, `comp2pui`, `ele2comp`, `ele2pui`, `elem`, `multi_elem`, `multi_pui`, `pui`, `pui2comp`, `pui2ele`, `puireduc` y `schur2comp`.

Función: multi_elem (l_elem, multi_pc, l_var)

  Descompone un polinomio multisimétrico sobre una forma multicontraída multi_pc en los grupos de variables contenidas en la lista de listas l_var sobre los grupos de funciones simétricas elementales contenidas en l_elem.

      (%i1) multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3,
            [[x, y], [a, b]]);
                                                        3
      (%o1)         - 2 f2 + f1 (f1 + e1) - 3 e1 e2 + e1
      (%i2) ratsimp (%);
                               2                       3
      (%o2)         - 2 f2 + f1  + e1 f1 - 3 e1 e2 + e1

  Otras funciones para cambio de bases son:

  `comp2ele`, `comp2pui`, `ele2comp`, `ele2pui`, `elem`, `mon2schur`, `multi_pui`, `pui`, `pui2comp`, `pui2ele`, `puireduc` y `schur2comp`.

Función: multi_orbit (P, [lvar_1, lvar_2, ..., lvar_p])

  P es un polinomio en el conjunto de variables contenidas en las listas lvar_1, lvar_2, ..., lvar_p. Esta función restablece la órbita del polinomio P sobre la acción del producto de los grupos simétricos de los conjuntos de variables representadas por esas p listas.

      (%i1) multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]);
      (%o1)                [b y + a x, a y + b x]
      (%i2) multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]);
      (%o2)        [y + x + 2 c, y + x + 2 b, y + x + 2 a]

  Véase también `orbit` para la acción de un solo grupo simérico.

Función: multi_pui

  Es a la función `pui` lo que la función `multi_elem` es a la función `elem`.

      (%i1) multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3,
            [[x, y], [a, b]]);
                                                  3
                                      3 p1 p2   p1
      (%o1)              t2 + p1 t1 + ------- - ---
                                         2       2

Función: multinomial (r, part)

  El argumento r es el peso de la partición part. Esta función calcula el coeficiente multinomial asociado: si las partes de las particiones part son i_1, i_2, ..., i_k, el resultado de `multinomial` es `r!/(i_1! i_2! ... i_k!)`.

Función: multsym (ppart_1, ppart_2, n)

  Calcula el producto de dos polinomios simétricos de n variables operando solamente con el módulo de la acción del grupo simétrico de orden n. Los polinomios están en su representación particionada.

  Sean los dos polinomios simétricos en `x` e `y`: `3*(x + y) + 2*x*y` y `5*(x^2 + y^2)` cuyas formas particionadas son `[[3, 1], [2, 1, 1]]` y `[[5, 2]]`, respectivamente; el producto de ambos será:

      (%i1) multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2);
      (%o1)         [[10, 3, 1], [15, 3, 0], [15, 2, 1]]

  o sea, `10*(x^3*y + y^3*x) + 15*(x^2*y + y^2*x) + 15*(x^3 + y^3)`.

  Funciones de cambio de representación de un polinomio simétrico:

  `contract`, `cont2part`, `explose`, `part2cont`, `partpol`, `tcontract` y `tpartpol`.

Función: orbit (P, lvar)

  Calcula la órbita de un polinomio P en las variables de la lista lvar bajo la acción del grupo simétrico del conjunto de variables contenidas en la lista lvar.

      (%i1) orbit (a*x + b*y, [x, y]);
      (%o1)                [a y + b x, b y + a x]
      (%i2) orbit (2*x + x^2, [x, y]);
                              2         2
      (%o2)                 [y  + 2 y, x  + 2 x]

  Véase también `multi_orbit` para la acción de un producto de grupos simétricos sobre un polinomio.

Función: part2cont (ppart, lvar)

  Transforma un polinomio simétrico de su forma particionada a su forma contraída. La forma contraída se devuelve con las variables contenidas en lvar.

      (%i1) part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
                                    3    4
      (%o1)                      2 a  b x  y

  Otras funciones para efectuar cambios de representación son:

  `contract`, `cont2part`, `explose`, `partpol`, `tcontract` y `tpartpol`.

Función: partpol (psym, lvar)

  Restablece la representación particionada del polinomio simétrico psym de variables en lvar.

      (%i1) partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]);
      (%o1)               [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]]

  Otras funciones para efectuar cambios de representación son:

  `contract`, `cont2part`, `explose`, `part2cont`, `tcontract` y `tpartpol`.

Función: permut (l)

  Devuelve la lista de permutaciones de la lista l.

Función: polynome2ele (P, x)

  Devuelve la lista `l = [n, e_1, ..., e_n]`, en la que n es el grado del polinomio P de variable x y e_i es la i-ésima función simétrica elemental de las raíces de P.

      (%i1) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x);
      (%o1)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
      (%i2) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                        7       5       3
      (%o2)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22

  La función recíproca es `ele2polynome (l, x)`.

Función: prodrac (l, k)

  Siendo l una lista que contiene las funciones simétricas elementales sobre un conjunto A, la función `prodrac` calcula el polinomio cuyas raíces son los productos k a k de los elementos de A.

Función: pui (l, sym, lvar)

  Descompone el polinomio simétrico sym, cuyas variables son las contenidas en lvar, en las funciones potenciales contenidas en la lista l. El primer elemento de la lista l almacena el cardinal del alfabeto, en caso de que exista; en caso contrario se le da el grado del polinomio sym. Si faltan los valores de la lista l, en su lugar serán colocados valores formales del tipo "pi". El polinomio sym puede especificarse de tres formas diferentes: contraído (en cuyo caso `pui` debe valer 1, que es el valor por defecto), particionado (`pui` valdrá 3) o extendido (por ejemplo, el polinomio completo) (en este caso, `pui` valdrá 2). La utilización de la función `elem` se hace siguiendo este mismo modelo.

      (%i1) pui;
      (%o1)                           1
      (%i2) pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
                             2
                         a (a  - b) u   (a b - p3) u
      (%o2)              ------------ - ------------
                              6              3
      (%i3) ratsimp (%);
                                             3
                            (2 p3 - 3 a b + a ) u
      (%o3)                 ---------------------
                                      6

  Otras funciones para cambio de bases son: `comp2ele`, `comp2pui`, `ele2comp`, `ele2pui`, `elem`, `mon2schur`, `multi_elem`, `multi_pui`, `pui2comp`, `pui2ele`, `puireduc` y `schur2comp`.

Función: pui2comp (n, lpui)

  Devuelve la lista de las n primeras funciones completas (con el cardinal en primer lugar) en función de las funciones potenciales dadas en la lista lpui. Si la lista lpui estuviese vacía, el cardinal sería N; si no estuviese vacía, se tomaría como cardinal su primer elemento, de forma similar a como se procede en `comp2ele` y en `comp2pui`.

      (%i1) pui2comp (2, []);
                                             2
                                      p2 + p1
      (%o1)                   [2, p1, --------]
                                         2
      (%i2) pui2comp (3, [2, a1]);
                                                  2
                                       a1 (p2 + a1 )
                               2  p3 + ------------- + a1 p2
                        p2 + a1              2
      (%o2)     [2, a1, --------, --------------------------]
                           2                  3
      (%i3) ratsimp (%);
                                  2                     3
                           p2 + a1   2 p3 + 3 a1 p2 + a1
      (%o3)        [2, a1, --------, --------------------]
                              2               6

  Otras funciones para cambio de bases son: `comp2ele`, `comp2pui`, `ele2comp`, `ele2pui`, `elem`, `mon2schur`, `multi_elem`, `multi_pui`, `pui`, `pui2ele`, `puireduc` y `schur2comp`.

Función: pui2ele (n, lpui)

  Transforma las funciones potenciales a funciones simétricas elementales. Si la variable global `pui2ele` vale `girard`, se recupera la lista de funciones simétricas elementales de 1 n, y si es igual a `close`, se recupera la n-ésima función simétrica elemental.

  Otras funciones para cambio de bases son: `comp2ele`, `comp2pui`, `ele2comp`, `ele2pui`, `elem`, `mon2schur`, `multi_elem`, `multi_pui`, `pui`, `pui2comp`, `puireduc` y `schur2comp`.

Función: pui2polynome (x, lpui)

  Calcula el polinomio en x cuyas raíces tienen como funciones potenciales las dadas en la lista lpui.

      (%i1) pui;
      (%o1)                           1
      (%i2) kill(labels);
      (%o0)                         done
      (%i1) polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x);
      (%o1)                     [3, 4, 5, 1]
      (%i2) ele2pui (3, %);
      (%o2)                     [3, 4, 6, 7]
      (%i3) pui2polynome (x, %);
                              3      2
      (%o3)                  x  - 4 x  + 5 x - 1

  Véanse también `polynome2ele` y `ele2polynome`.

Función: pui_direct (orbite, [lvar_1, ..., lvar_n], [d_1, d_2, ..., d_n])

  Sea f un polinomio en n bloques de variables lvar_1, ..., lvar_n. Sea c_i el número de variables en lvar_i y SC el producto de los n grupos simétricos de grados c_1, ..., c_n, que actúan sobre f. La lista orbite es la órbita, representada por `SC(f)`, de la función f sobre la acción de SC, la cual puede ser obtenida por medio de la función `multi_orbit`. Los valores `d_i` son enteros tales que c_1 <= d_1, c_2 <= d_2, ..., c_n <= d_n. Por último, sea SD el producto de los grupos simétricos S_d1 x S_d2 x ... x S_dn.

  La función `pui_direct` devuelve las n primeras funciones potenciales de `SD(f)` deducidas de las funciones potenciales de `SC(f)`, siendo n el cardinal de `SD(f)`.

  El resultado se devuelve en la forma multicontraída respecto de SD.

      (%i1) l: [[x, y], [a, b]];
      (%o1)                   [[x, y], [a, b]]
      (%i2) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
                                             2  2
      (%o2)               [a x, 4 a b x y + a  x ]
      (%i3) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
                                   2  2     2    2        3  3
      (%o3) [2 a x, 4 a b x y + 2 a  x , 3 a  b x  y + 2 a  x ,

          2  2  2  2      3    3        4  4
      12 a  b  x  y  + 4 a  b x  y + 2 a  x ,

          3  2  3  2      4    4        5  5
      10 a  b  x  y  + 5 a  b x  y + 2 a  x ,

          3  3  3  3       4  2  4  2      5    5        6  6
      40 a  b  x  y  + 15 a  b  x  y  + 6 a  b x  y + 2 a  x ]
      (%i4) pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a],
            [[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
                                   2              2
      (%o4) [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x  + 4 a x + 4 a ,

                       2                   3        2       2        3
                    9 x  y + 12 a x y + 3 x  + 6 a x  + 12 a  x + 8 a ]

Función: puireduc (n, lpui)

  Siendo lpui una lista en la que el primer elemento es un entero m, `puireduc` devuelve las n primeras funciones potenciales en función de las m primeras.

      (%i1) puireduc (3, [2]);
                                               2
                                         p1 (p1  - p2)
      (%o1)          [2, p1, p2, p1 p2 - -------------]
                                               2
      (%i2) ratsimp (%);
                                                 3
                                     3 p1 p2 - p1
      (%o2)              [2, p1, p2, -------------]
                                           2

Función: resolvante (P, x, f, [x_1, ..., x_d])

  Calcula la resolvente del polinomio P de variable x y grado n >= d por la función f de variables x_1, ..., x_d. Para mejorar los cálculos, es importante no incluir en la lista `[x_1, ..., x_d]` las variables que no intervienen en la función de transformación f.

  Con el fin de hacer más eficaces los cálculos, se puede asignar a `resolvante` un indicador que permita seleccionar el algoritmo más apropiado:

  - `unitaire`,
  - `lineaire`,
  - `alternee`,
  - `somme`,
  - `produit`,
  - `cayley`,
  - `generale`.

      (%i1) resolvante: unitaire$
      (%i2) resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1,
            [x]);

      " resolvante unitaire " [7, 0, 28, 0, 168, 0, 1120, - 154, 7840,
                               - 2772, 56448, - 33880,

      413952, - 352352, 3076668, - 3363360, 23114112, - 30494464,

      175230832, - 267412992, 1338886528, - 2292126760]
        3       6      3       9      6      3
      [x  - 1, x  - 2 x  + 1, x  - 3 x  + 3 x  - 1,

       12      9      6      3       15      12       9       6      3
      x   - 4 x  + 6 x  - 4 x  + 1, x   - 5 x   + 10 x  - 10 x  + 5 x

             18      15       12       9       6      3
       - 1, x   - 6 x   + 15 x   - 20 x  + 15 x  - 6 x  + 1,

       21      18       15       12       9       6      3
      x   - 7 x   + 21 x   - 35 x   + 35 x  - 21 x  + 7 x  - 1]
      [- 7, 1127, - 6139, 431767, - 5472047, 201692519, - 3603982011]
             7      6        5         4          3           2
      (%o2) y  + 7 y  - 539 y  - 1841 y  + 51443 y  + 315133 y

                                                    + 376999 y + 125253
      (%i3) resolvante: lineaire$
      (%i4) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante lineaire "
             24       20         16            12             8
      (%o4) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000
      (%i5) resolvante: general$
      (%i6) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante generale "
             24       20         16            12             8
      (%o6) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000
      (%i7) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);

      " resolvante generale "
             24       20         16            12             8
      (%o7) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000
      (%i8) direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
             24       20         16            12             8
      (%o8) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000
      (%i9) resolvante :lineaire$
      (%i10) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante lineaire "
                                    4
      (%o10)                       y  - 1
      (%i11) resolvante: symetrique$
      (%i12) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante symetrique "
                                    4
      (%o12)                       y  - 1
      (%i13) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

      " resolvante symetrique "
                                 6      2
      (%o13)                    y  - 4 y  - 1
      (%i14) resolvante: alternee$
      (%i15) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

      " resolvante alternee "
                  12      8       6        4        2
      (%o15)     y   + 8 y  + 26 y  - 112 y  + 216 y  + 229
      (%i16) resolvante: produit$
      (%i17) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante produit "
              35      33         29        28         27        26
      (%o17) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

               24           23          22            21           20
       + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

                19           18             17              15
       - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

                   14              12             11            10
       - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

                    9            8            7             6
       - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

                  5             3
       - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
      (%i18) resolvante: symetrique$
      (%i19) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante symetrique "
              35      33         29        28         27        26
      (%o19) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

               24           23          22            21           20
       + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

                19           18             17              15
       - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

                   14              12             11            10
       - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

                    9            8            7             6
       - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

                  5             3
       - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
      (%i20) resolvante: cayley$
      (%i21) resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);

      " resolvante de Cayley "
              6       5         4          3            2
      (%o21) x  - 40 x  + 4080 x  - 92928 x  + 3772160 x  + 37880832 x

                                                             + 93392896

  Para la resolvente de Cayley, los dos últimos argumentos son neutros y el polinomio dado en el argumento debe ser necesariamente de grado 5.

  Véanse también:

  `resolvante_bipartite`, `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Función: resolvante_alternee1 (P, x)

  Calcula la transformación de `P(x)` de grado n por la función $\prod_{1\leq i<j\leq n-1} (x_i-x_j)$.

  Véanse también:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante` , `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`, `resolvante_bipartite`.

Función: resolvante_bipartite (P, x)

  Calcula la transformación de `P(x)` de grado n (n par) por la función $x_1x_2\ldots x_{n/2}+x_{n/2+1}\ldotsx_n$

      (%i1) resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
                    10        8           6             4
      (%o1)        y   - 972 y  + 314928 y  - 34012224 y

  Véanse también:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`, `resolvante_alternee1`.

Función: resolvante_diedrale (P, x)

  Calcula la transformación de `P(x)` por la función `x_1 x_2 + x_3 x_4`.

      (%i1) resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
             15       12       11       10        9         8         7
      (%o1) x   - 21 x   - 81 x   - 21 x   + 207 x  + 1134 x  + 2331 x

              6         5          4          3          2
       - 945 x  - 4970 x  - 18333 x  - 29079 x  - 20745 x  - 25326 x

       - 697

  Véanse también:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante`.

Función: resolvante_klein (P, x)

  Calcula la transformación de `P(x)` por la función `x_1 x_2 x_4 + x_4`.

  Véanse también:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Función: resolvante_klein3 (P, x)

  Calcula la transformación de `P(x)` por la función `x_1 x_2 x_4 + x_4`.

  Véanse también:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Función: resolvante_produit_sym (P, x)

  Calcula la lista de todas las resolventes producto del polinomio `P(x)`.

      (%i1) resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
              5      4             10      8       7       6       5
      (%o1) [y  + 3 y  + 2 y - 1, y   - 2 y  - 21 y  - 31 y  - 14 y

          4       3      2       10      8       7    6       5       4
       - y  + 14 y  + 3 y  + 1, y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y

             3      2       5      4
       - 21 y  - 2 y  + 1, y  - 2 y  - 3 y - 1, y - 1]
      (%i2) resolvante: produit$
      (%i3) resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);

      " resolvante produit "
             10      8       7    6        5       4       3     2
      (%o3) y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y  - 21 y  - 2 y  + 1

  Véanse también:

  `resolvante`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Función: resolvante_unitaire (P, Q, x)

  Calcula la resolvente del polinomio `P(x)` por el polinomio `Q(x)`.

  Véanse también:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Función: resolvante_vierer (P, x)

  Calcula la transformación de `P(x)` por la función `x_1 x_2 - x_3 x_4`.

  Véanse también:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante`, `resolvante_diedrale`.

Función: schur2comp (P, l_var)

  P es un polinomio de variables contenidas en la lista l_var. Cada una de las variables de l_var representa una función simétrica completa. La i-ésima función simétrica completa de l_var se representa como la concatenación de la letra `h` con el entero i: `hi`. La función `schur2comp` devuelve la expresión de P en función de las funciones de Schur.

      (%i1) schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
      (%o1)                         s
                                     1, 2
      (%i2) schur2comp (a*h3, [h3]);
      (%o2)                         s  a
                                     3

Función: somrac (l, k)

  Si la lista l contiene las funciones simétricas elementales de un polinomio P, la función `somrac` calcula el polinomio cuyas raíces son las sumas k a k de las raíces de P.

  Véase también `prodrac`.

Función: tcontract (pol, lvar)

  Comprueba si el polinomio pol es simétrico en las variable contenidas en la lista lvar. En caso afirmativo, devuelve una forma contraída tal como lo hace la función `contract`.

  Otras funciones para efectuar cambios de representación son: `contract`, `cont2part`, `explose`, `part2cont`, `partpol` y `tpartpol`.

Función: tpartpol (pol, lvar)

  Comprueba si el polinomio pol es simétrico en las variable contenidas en la lista lvar. En caso afirmativo, devuelve una forma particionada tal como lo hace la función `partpol`.

  Otras funciones para efectuar cambios de representación son: `contract`, `cont2part`, `explose`, `part2cont`, `partpol` y `tcontract`.

Función: treillis (n)

  Devuelve todas las particiones de pesos n.

      (%i1) treillis (4);
      (%o1)    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

  Véanse también `lgtreillis`, `ltreillis` y `treinat`.

Función: treinat (part)

  Devuelve la lista de las particiones inferiores de la partición part en su orden natural.

      (%i1) treinat ([5]);
      (%o1)                         [[5]]
      (%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
      (%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1],

                                                       [1, 1, 1, 1, 1]]
      (%i3) treinat ([3, 2]);
      (%o3)                 [[5], [4, 1], [3, 2]]

  Véanse también `lgtreillis`, `ltreillis` y `treillis`.

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