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# 16. Funciones elípticas

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## 16.1 Introducción a las funciones e integrales elípticas

Maxima da soporte para las funciones elípticas jacobianas y para las integrales elípticas completas e incompletas. Esto incluye la manipulación simbólica de estas funciones y su evaluación numérica. Las definiciones de estas funciones y de muchas de sus propiedades se pueden encontrar en Abramowitz y Stegun, capítulos 16-17, que es la fuente principal utilizada para su programación en Maxima, aunque existen algunas diferencias.

En particular, todas las funciones e integrales elípticas utilizan el parámero m en lugar del módulo k o del ángulo alfa. Esta es una de las diferencias con Abramowitz y Stegun, que utilizan el ángulo para las funciones elípticas. Las siguientes relaciones son válidas:

m = k^2 y k = sin(alfa).

Las funciones e integrales elípticas en Maxima tienen como objetivo primordial dar soporte al cálculo simbólico, de ahí que también estén incluidas la mayoría de las derivadas e integrales asociadas a estas funciones. No obstante lo anterior, si los argumentos dados a las funciones son decimales en coma flotante, los resultados también serán decimales.

Sin embargo, la mayoría de las propiedades no realacionadas con las derivadas de las funciones e integrales elípticas todavía no han sido programadas en Maxima.

Algunos ejemplos de funciones elípticas:

    (%i1) jacobi_sn (u, m);
    (%o1)                    jacobi_sn(u, m)
    (%i2) jacobi_sn (u, 1);
    (%o2)                        tanh(u)
    (%i3) jacobi_sn (u, 0);
    (%o3)                        sin(u)
    (%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
    (%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
    (%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
    (%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)

          elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
     (u - ------------------------------------)/(2 m)
                         1 - m

                2
       jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
     + --------------------------------
                  2 (1 - m)

Algunos ejemplos de integrales elípticas:

    (%i1) elliptic_f (phi, m);
    (%o1)                  elliptic_f(phi, m)
    (%i2) elliptic_f (phi, 0);
    (%o2)                          phi
    (%i3) elliptic_f (phi, 1);
                                   phi   %pi
    (%o3)                  log(tan(--- + ---))
                                    2     4
    (%i4) elliptic_e (phi, 1);
    (%o4)                       sin(phi)
    (%i5) elliptic_e (phi, 0);
    (%o5)                          phi
    (%i6) elliptic_kc (1/2);
                                         1
    (%o6)                    elliptic_kc(-)
                                         2
    (%i7) makegamma (%);
                                     2 1
                                gamma (-)
                                       4
    (%o7)                      -----------
                               4 sqrt(%pi)
    (%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
                                    1
    (%o8)                 ---------------------
                                        2
                          sqrt(1 - m sin (phi))
    (%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
           elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
    (%o9) (-----------------------------------------------
                                  m

                                     cos(phi) sin(phi)
                                 - ---------------------)/(2 (1 - m))
                                                 2
                                   sqrt(1 - m sin (phi))

El paquete para funciones e integrales elípticas fue programado por Raymond Toy. Se distribuye, igual que Maxima, bajo la General Public License (GPL).

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## 16.2 Funciones y variables para funciones elípticas

Función: jacobi_sn (u, m)

  Función elíptica jacobiana sn(u,m).

Función: jacobi_cn (u, m)

  Función elíptica jacobiana cn(u,m).

Función: jacobi_dn (u, m)

  Función elíptica jacobiana dn(u,m).

Función: jacobi_ns (u, m)

  Función elíptica jacobiana ns(u,m) = 1/sn(u,m).

Función: jacobi_sc (u, m)

  Función elíptica jacobiana sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m).

Función: jacobi_sd (u, m)

  Función elíptica jacobiana sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m).

Función: jacobi_nc (u, m)

  Función elíptica jacobiana nc(u,m) = 1/cn(u,m).

Función: jacobi_cs (u, m)

  Función elíptica jacobiana cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m).

Función: jacobi_cd (u, m)

  Función elíptica jacobiana cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m).

Función: jacobi_nd (u, m)

  Función elíptica jacobiana nc(u,m) = 1/cn(u,m).

Función: jacobi_ds (u, m)

  Función elíptica jacobiana ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m).

Función: jacobi_dc (u, m)

  Función elíptica jacobiana dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m).

Función: inverse_jacobi_sn (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana sn(u,m).

Función: inverse_jacobi_cn (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana cn(u,m).

Función: inverse_jacobi_dn (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana dn(u,m).

Función: inverse_jacobi_ns (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana ns(u,m).

Función: inverse_jacobi_sc (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana sc(u,m).

Función: inverse_jacobi_sd (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana sd(u,m).

Función: inverse_jacobi_nc (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana nc(u,m).

Función: inverse_jacobi_cs (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana cs(u,m).

Función: inverse_jacobi_cd (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana cd(u,m).

Función: inverse_jacobi_nd (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana nc(u,m).

Función: inverse_jacobi_ds (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana ds(u,m).

Función: inverse_jacobi_dc (u, m)

  Inversa de la función elíptica jacobiana dc(u,m).

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## 16.3 Funciones y variables para integrales elípticas

Función: elliptic_f (phi, m)

  Integral elíptica incompleta de primera especie, definida como

  integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

  Véanse también `elliptic_e` y `elliptic_kc`.

Función: elliptic_e (phi, m)

  Integral elíptica incompleta de segunda especie, definida como

  elliptic_e(phi, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

  Véanse también `elliptic_e` y `elliptic_ec`.

Función: elliptic_eu (u, m)

  Integral elíptica incompleta de segunda especie, definida como

  integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)

  donde tau = sn(u,m).

  Esto se relaciona con `elliptic_e` mediante

  elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m)

  Véase también `elliptic_e`.

Función: elliptic_pi (n, phi, m)

  Integral elíptica incompleta de tercera especie, definida como

  integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

  Maxima sólo conoce la derivada respecto de phi.

Función: elliptic_kc (m)

  Integral elíptica completa de primera especie, definida como

  integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

  Para algunos valores de m, se conoce el valor de la integral en términos de la función Gamma. Hágase uso de `makegamma` para realizar su cálculo.

Función: elliptic_ec (m)

  Integral elíptica completa de segunda especie, definida como

  integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

  Para algunos valores de m, se conoce el valor de la integral en términos de la función Gamma. Hágase uso de `makegamma` para realizar su cálculo.

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