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# 73. solve_rec

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## 73.1 Introducción a solve_rec

El paquete `solve_rec` resuelve expresiones recurrentes lineales con coeficientes polinomiales.

Ejecútese `demo(solve_rec);` para ver una demostración sobre la utilización de este paquete.

Ejemplo:

    (%i1) load("solve_rec")$
    (%i2) solve_rec((n+4)*s[n+2] + s[n+1] - (n+1)*s[n], s[n]);
                                        n
                     %k  (2 n + 3) (- 1)          %k
                       1                            2
    (%o2)       s  = -------------------- + ---------------
                 n     (n + 1) (n + 2)      (n + 1) (n + 2)

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## 73.2 Funciones y variables para solve_rec

Función: reduce_order (rec, sol, var)

  Reduce el orden de la expresión recurrente lineal rec cuando se conoce una solución particular sol. La recurrencia reducida puede utilizarse para obterner más soluciones.

  Ejemplo:

      (%i3) rec: x[n+2] = x[n+1] + x[n]/n;
                                            x
                                             n
      (%o3)               x      = x      + --
                           n + 2    n + 1   n
      (%i4) solve_rec(rec, x[n]);
      WARNING: found some hypergeometrical solutions!
      (%o4)                    x  = %k  n
                                n     1
      (%i5) reduce_order(rec, n, x[n]);
      (%t5)                    x  = n %z
                                n       n

                                 n - 1
                                 ====
                                 \
      (%t6)                %z  =  >     %u
                             n   /        %j
                                 ====
                                 %j = 0

      (%o6)             (- n - 2) %u     - %u
                                    n + 1     n
      (%i6) solve_rec((n+2)*%u[n+1] + %u[n], %u[n]);
                                           n
                                  %k  (- 1)
                                    1
      (%o6)                 %u  = ----------
                              n    (n + 1)!

      So the general solution is

                   n - 1
                   ====        j
                   \      (- 1)
             %k  n  >    -------- + %k  n
               2   /     (j + 1)!     1
                   ====
                   j = 0

Variable opcional: simplify_products

  Valor por defecto: `true`

  Si `simplify_products` vale `true`, `solve_rec` intentará simplificar los productos del resultado.

  Véase también `solve_rec`.

Función: simplify_sum (expr)

  Intenta reducir todas las sumas que aparecen en expr a una forma cerrada.

  Para utilizar esta función cárguese previamente el paquete `simplify_sum` ejecutando la instrucción `load(simplify_sum)`.

  Ejemplo:

      (%i1) load("simplify_sum")$
      (%i2) sum(binomial(n+k,k)/2^k,k,1,n)+sum(binomial(2*n,2*k),k,1,n);
              n                          n
             ====                       ====
             \     binomial(n + k, k)   \
      (%o2)   >    ------------------ +  >    binomial(2 n, 2 k)
             /              k           /
             ====          2            ====
             k = 1                      k = 1
      (%i3) simplify_sum(%);

                               2 n - 1    n
      (%o3)                   2        + 2  - 2

Función: solve_rec (eqn, var, [init])

  Obtiene las soluciones hipergeométricas de la expresión recurrente eqn con coeficientes lineales en la variable var. Los argumentos opcionales init son condiciones iniciales.

  La función `solve_rec` puede resolver expresiones recurrentes con coeficientes constantes, encuentra soluciones hipergeométricas de expresiones recurrentes lineales homogéneas con coeficientes polinomiales, obtiene soluciones racionales de expresiones recurrentes lineales con coeficientes lineales y resuelve también expresiones recurrentes de Ricatti.

  Nótese que el tiempo de ejecución del algoritmo para encontrar soluciones hipergeométricas es exponencial respecto del grado del coeficiente principal.

  Para hacer uso de esta función ejecútese previamente `load(solve_rec);`.

  Ejemplo de recurrencia lineal con coeficientes constantes:

      (%i2) solve_rec(a[n]=a[n-1]+a[n-2]+n/2^n, a[n]);
                              n          n
                 (sqrt(5) - 1)  %k  (- 1)
                                  1           n
      (%o2) a  = ------------------------- - ----
             n               n                  n
                            2                5 2
                                                      n
                                         (sqrt(5) + 1)  %k
                                                          2    2
                                       + ------------------ - ----
                                                  n              n
                                                 2            5 2

  Ejemplo de recurrencia lineal con coeficientes polinomiales:

      (%i7) 2*x*(x+1)*y[x] - (x^2+3*x-2)*y[x+1] + (x-1)*y[x+2];
                               2
      (%o7) (x - 1) y      - (x  + 3 x - 2) y      + 2 x (x + 1) y
                     x + 2                   x + 1                x
      (%i8) solve_rec(%, y[x], y[1]=1, y[3]=3);
                                    x
                                 3 2    x!
      (%o9)                 y  = ---- - --
                             x    4     2

  Ejemplo de recurrencia de Ricatti:

      (%i2) x*y[x+1]*y[x] - y[x+1]/(x+2) + y[x]/(x-1) = 0;
                                  y         y
                                   x + 1     x
      (%o2)         x y  y      - ------ + ----- = 0
                       x  x + 1   x + 2    x - 1
      (%i3) solve_rec(%, y[x], y[3]=5)$
      (%i4) ratsimp(minfactorial(factcomb(%)));
                                         3
                                     30 x  - 30 x
      (%o4) y  = - -------------------------------------------------
             x        6      5       4       3       2
                   5 x  - 3 x  - 25 x  + 15 x  + 20 x  - 12 x - 1584

  Véanse también `solve_rec_rat`, `simplify_products` y `product_use_gamma`.

Función: solve_rec_rat (eqn, var, [init])

  Calcula las soluciones racionales de las expresiones recurrentes lineales. Véase `solve_rec` para la descripción de sus argumentos.

  Para hacer uso de esta función ejecútese previamente `load(solve_rec);`.

  Ejemplo:

      (%i1) (x+4)*a[x+3] + (x+3)*a[x+2] - x*a[x+1] + (x^2-1)*a[x];
      (%o1)  (x + 4) a      + (x + 3) a      - x a
                      x + 3            x + 2      x + 1
                                                         2
                                                     + (x  - 1) a
                                                                  x
      (%i2) solve_rec_rat(% = (x+2)/(x+1), a[x]);
                             1
      (%o2)      a  = ---------------
                  x   (x - 1) (x + 1)

  Véase también `solve_rec`.

Variable opcional: product_use_gamma

  Valor por defecto:`true`

  Si `product_use_gamma` vale `true`, `solve_rec` introduce la función gamma en la expresión del resultado cuando se simplifican productos.

  Véanse también `simplify_products` y `solve_rec`.

Función: summand_to_rec (summand, k, n)

  Devuelve la expresión recurrente que satisface la suma

          inf
          ====
          \
           >     sumando
          /
          ====
        k = minf

  donde el sumando es hipergeométrico en k y n.

  Para hacer uso de esta función deben cargarse previamente los paquetes `zeilberger` y `solve_rec` mediante la ejecución de las sentencias `load(solve_rec)` y `load(zeilberger)`.

      (%i17) load("zeilberger")$
      (%i18) summand: binom(3*k+1,k)*binom(3*(n-k),n-k)/(3*k+1)$
      (%i19) summand_to_rec(summand, k, n);
      Dependent equations eliminated:  (3 2)
      (%o19) - 4 (n + 2) (2 n + 3) (2 n + 5) sm
                                               n + 2
                          2
       + 12 (2 n + 3) (9 n  + 27 n + 22) sm
                                           n + 1
       - 81 (n + 1) (3 n + 2) (3 n + 4) sm
                                          n
      (%i21) sum(''summand, k, 0, n), n=0;
      (%o21)                       1
      (%i22) sum(''summand, k, 0, n), n=1;
      (%o22)                       4
      (%i23) product_use_gamma: false$
      (%i24) solve_rec(%o19, sm[n], sm[0]=1, sm[1]=4);
                    n - 1               n - 1
                    /===\               /===\
                     ! !                 ! !                n
                   ( ! !   (3 %j + 2)) ( ! !   (3 %j + 4)) 3
                     ! !                 ! !
                    %j = 0              %j = 0
      (%o24) sm  = ------------------------------------------
               n            n - 1
                            /===\
                             ! !                n
                           ( ! !   (2 %j + 3)) 2  n!
                             ! !
                            %j = 0

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