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# 58. interpol

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## 58.1 Introducción a interpol

El paquete `interpol` desarrolla los métodos de interpolación polinómica de Lagrange, lineal y de splines cúbicos.

Para comentarios, fallos o sugerencias, contactar con 'mario ARROBA edu PUNTO xunta PUNTO es'.

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## 58.2 Funciones y variables para interpol

Función: lagrange (points)
Función: lagrange (points, option)

  Calcula el polinomio de interpolación por el método de Lagrange. El argumento points debe ser:

  - una matriz de dos columnas, `p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])`,
  - una lista de pares de números, `p: [[2,4],[5,6],[9,3]]`,
  - una lista de números, `p: [4,6,3]`, en cuyo caso las abscisas se asignarán automáticamente a 1, 2, 3, etc.

  En los dos primeros casos los pares se ordenan con respecto a la primera coordenada antes de proceder a los cálculos.

  Mediante el argumento option es posible seleccionar el nombre de la variable independiente, que por defecto es `'x`; para definir otra, escríbase algo como `varname='z`.

  Téngase en cuenta que cuando se trabaja con polinomios de grado alto, los cálculos con números decimales en coma flotante pueden ser muy inestables.

  Véanse también `linearinterpol`, `cspline` y `ratinterpol`.

  Ejemplos:

      (%i1) load(interpol)$
      (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
      (%i3) lagrange(p);
             (x - 7) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
      (%o3)  -------------------------------
                           35
         (x - 8) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
       - -------------------------------
                       12
         7 (x - 8) (x - 7) (x - 3) (x - 1)
       + ---------------------------------
                        30
         (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 1)
       - -------------------------------
                       60
         (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 3)
       + -------------------------------
                       84
      (%i4) f(x):=''%;
                     (x - 7) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
      (%o4)  f(x) := -------------------------------
                                   35
         (x - 8) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
       - -------------------------------
                       12
         7 (x - 8) (x - 7) (x - 3) (x - 1)
       + ---------------------------------
                        30
         (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 1)
       - -------------------------------
                       60
         (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 3)
       + -------------------------------
                       84
      (%i5) /* Evaluate the polynomial at some points */
            expand(map(f,[2.3,5/7,%pi]));
                                        4          3           2
                          919062  73 %pi    701 %pi    8957 %pi
      (%o5)  [- 1.567535, ------, ------- - -------- + ---------
                          84035     420       210         420
                                                   5288 %pi   186
                                                 - -------- + ---]
                                                     105       5
      (%i6) %,numer;
      (%o6) [- 1.567535, 10.9366573451538, 2.89319655125692]
      (%i7) load(draw)$  /* load draw package */
      (%i8) /* Plot the polynomial together with points */
            draw2d(
              color      = red,
              key        = "Lagrange polynomial",
              explicit(f(x),x,0,10),
              point_size = 3,
              color      = blue,
              key        = "Sample points",
              points(p))$
      (%i9) /* Change variable name */
            lagrange(p, varname=w);
             (w - 7) (w - 6) (w - 3) (w - 1)
      (%o9)  -------------------------------
                           35
         (w - 8) (w - 6) (w - 3) (w - 1)
       - -------------------------------
                       12
         7 (w - 8) (w - 7) (w - 3) (w - 1)
       + ---------------------------------
                        30
         (w - 8) (w - 7) (w - 6) (w - 1)
       - -------------------------------
                       60
         (w - 8) (w - 7) (w - 6) (w - 3)
       + -------------------------------
                       84

Función: charfun2 (x, a, b)

  Devuelve `true` si el número x pertenece al intervalo [a, b), y `false` en caso contrario.

Función: linearinterpol (points)
Función: linearinterpol (points, option)

  Calcula rectas de interpolación. El argumento points debe ser:

  - una matriz de dos columnas, `p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])`,
  - una lista de pares de números, `p: [[2,4],[5,6],[9,3]]`,
  - una lista de números, `p: [4,6,3]`, en cuyo caso las abscisas se asignarán automáticamente a 1, 2, 3, etc.

  En los dos primeros casos los pares se ordenan con respecto a la primera coordenada antes de proceder a los cálculos.

  Mediante el argumento option es posible seleccionar el nombre de la variable independiente, que por defecto es `'x`; para definir otra, escríbase algo como `varname='z`.

  Véanse también `lagrange`, `cspline` y `ratinterpol`.

  Ejemplos:

      (%i1) load(interpol)$
      (%i2) p: matrix([7,2],[8,3],[1,5],[3,2],[6,7])$
      (%i3) linearinterpol(p);
              13   3 x
      (%o3)  (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
              2     2
       + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
          5 x
       + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
           3

      (%i4) f(x):=''%;
                      13   3 x
      (%o4)  f(x) := (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
                      2     2
       + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
          5 x
       + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
           3
      (%i5)  /* Evaluate the polynomial at some points */
             map(f,[7.3,25/7,%pi]);
                                  62  5 %pi
      (%o5)                 [2.3, --, ----- - 3]
                                  21    3
      (%i6) %,numer;
      (%o6)  [2.3, 2.952380952380953, 2.235987755982989]
      (%i7) load(draw)$  /* load draw package */
      (%i8)  /* Plot the polynomial together with points */
             draw2d(
               color      = red,
               key        = "Linear interpolator",
               explicit(f(x),x,-5,20),
               point_size = 3,
               color      = blue,
               key        = "Sample points",
               points(args(p)))$
      (%i9)  /* Change variable name */
             linearinterpol(p, varname='s);
             13   3 s
      (%o9) (-- - ---) charfun2(s, minf, 3)
             2     2
       + (s - 5) charfun2(s, 7, inf) + (37 - 5 s) charfun2(s, 6, 7)
          5 s
       + (--- - 3) charfun2(s, 3, 6)
           3

Función: cspline (points)
Función: cspline (points, option1, option2, ...)

  Calcula el polinomio de interpolación por el método de los splines cúbicos. El argumento points debe ser:

  - una matriz de dos columnas, `p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])`,
  - una lista de pares de números, `p: [[2,4],[5,6],[9,3]]`,
  - una lista de números, `p: [4,6,3]`, en cuyo caso las abscisas se asignarán automáticamente a 1, 2, 3, etc.

  En los dos primeros casos los pares se ordenan con respecto a la primera coordenada antes de proceder a los cálculos.

  Esta función dispone de tres opciones para acomodarse a necesidades concretas:

  - `'d1`, por defecto `'unknown`, es la primera derivada en x_1; si toma el valor `'unknown`, la segunda derivada en x_1 se iguala a 0 (spline cúbico natural); en caso de tomar un valor numérico, la segunda derivada se calcula en base a este número.
  - `'dn`, por defecto `'unknown`, es la primera derivada en x_n; si toma el valor `'unknown`, la segunda derivada en x_n se iguala a 0 (spline cúbico natural); en caso de tomar un valor numérico, la segunda derivada se calcula en base a este número.
  - `'varname`, por defecto `'x`, es el nombre de la variable independiente.

  Véanse también `lagrange`, `linearinterpol` y `ratinterpol`.

  Ejemplos:

      (%i1) load(interpol)$
      (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
      (%i3) /* Unknown first derivatives at the extremes
               is equivalent to natural cubic splines */
            cspline(p);
                    3         2
              1159 x    1159 x    6091 x   8283
      (%o3)  (------- - ------- - ------ + ----) charfun2(x, minf, 3)
               3288      1096      3288    1096
                  3         2
            2587 x    5174 x    494117 x   108928
       + (- ------- + ------- - -------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
             1644       137       1644      137
                3          2
          4715 x    15209 x    579277 x   199575
       + (------- - -------- + -------- - ------) charfun2(x, 6, 7)
           1644       274        1644      274
                  3         2
            3287 x    2223 x    48275 x   9609
       + (- ------- + ------- - ------- + ----) charfun2(x, 3, 6)
             4932       274      1644     274

      (%i4) f(x):=''%$
      (%i5) /* Some evaluations */
            map(f,[2.3,5/7,%pi]), numer;
      (%o5) [1.991460766423356, 5.823200187269903, 2.227405312429507]
      (%i6) load(draw)$  /* load draw package */
      (%i7) /* Plotting interpolating function */
            draw2d(
              color      = red,
              key        = "Cubic splines",
              explicit(f(x),x,0,10),
              point_size = 3,
              color      = blue,
              key        = "Sample points",
              points(p))$
      (%i8) /* New call, but giving values at the derivatives */
            cspline(p,d1=0,dn=0);
                    3          2
              1949 x    11437 x    17027 x   1247
      (%o8)  (------- - -------- + ------- + ----) charfun2(x, minf, 3)
               2256       2256      2256     752
                  3          2
            1547 x    35581 x    68068 x   173546
       + (- ------- + -------- - ------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
              564       564        141      141
               3          2
          607 x    35147 x    55706 x   38420
       + (------ - -------- + ------- - -----) charfun2(x, 6, 7)
           188       564        141      47
                  3         2
            3895 x    1807 x    5146 x   2148
       + (- ------- + ------- - ------ + ----) charfun2(x, 3, 6)
             5076       188      141      47
      (%i8) /* Defining new interpolating function */
            g(x):=''%$
      (%i9) /* Plotting both functions together */
            draw2d(
              color      = black,
              key        = "Cubic splines (default)",
              explicit(f(x),x,0,10),
              color      = red,
              key        = "Cubic splines (d1=0,dn=0)",
              explicit(g(x),x,0,10),
              point_size = 3,
              color      = blue,
              key        = "Sample points",
              points(p))$

Función: ratinterpol (points, numdeg)
Función: ratinterpol (points, numdeg, option1)

  Genera el interpolador racional para los datos dados por points y con grado numdeg en el numerador; el grado del denominador se calcula automáticamente. El argumento points debe ser:

  - una matriz de dos columnas, `p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])`,
  - una lista de pares de números, `p: [[2,4],[5,6],[9,3]]`,
  - una lista de números, `p: [4,6,3]`, en cuyo caso las abscisas se asignarán automáticamente a 1, 2, 3, etc.

  En los dos primeros casos los pares se ordenan con respecto a la primera coordenada antes de proceder a los cálculos.

  Esta función dispone de una opción para acomodarse a necesidades concretas:

  - `'varname`, por defecto `'x`, es el nombre de la variable independiente.

  Véanse también `lagrange`, `linearinterpol`, `cspline`, `minpack_lsquares` y `lbfgs`.

  Ejemplos:

      (%i1) load(interpol)$
      (%i2) load(draw)$
      (%i3) p:[[7.2,2.5],[8.5,2.1],[1.6,5.1],[3.4,2.4],[6.7,7.9]]$
      (%i4) for k:0 thru length(p)-1 do
              draw2d(
                explicit(ratinterpol(p,k),x,0,9),
                point_size = 3,
                points(p),
                title = concat("Grado del numerador = ",k),
                yrange=[0,10])$

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